Equação de Born-Landé no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

A constante de Madelung é utilizada para se determinar a contribuição do potencial eletrostático na energia de ligação de cristais iônicos. Ela caracteriza o efeito eletrostático líquido de todos os íons na rede cristalina. Erwin Madelung foi um físico alemão do século XX.

Devido às cargas opostas, cátions e ânions se atraem mutuamente num sólido iônico, criando uma energia de ligação. Para que estes íons sejam separados, uma certa quantidade de energia deve ser fornecida ao cristal, sendo suficiente para que quebrar a ligação ânion-cátion. Esta energia é denominada energia de rede.

Suponhamos um potencial de interação U_ij entre os íons i e j e definamos

U_{i}=\sum _{j\neq i}U_{ij}.

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Suponhamos também que U_ij possa ser escrito como a soma de um campo central de potencial repulsivo e do potencial de Coulomb,

U_{ij}=\lambda \exp {(-r_{ij}/\rho )}\pm {q^{2}}/r_{ij},

no sistema CGS, sendo o sinal positivo tomado para cargas de mesmo sinal, e o sinal negativo para cargas de sinal oposto. O termo repulsivo é fruto da resistência do íon à sobreposição de sua distribuição eletrônica com a de íons vizinhos.

Normalizando as distâncias r_ij através da distância entre primeiros vizinhos R,

r_{ij}\equiv p_{ij}R,

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

e ainda considerando que a interação repulsiva se dá apenas entre primeiros vizinhos, temos, para os primeiros vizinhos

U_{ij}=\lambda \exp {(-R/\rho )}-{\frac {q^{2}}{R}},

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

e também

U_{ij}=\pm {\frac {1}{p_{ij}}}{\frac {q^{2}}{R}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

para outros íons. Desconsiderando efeitos de superfície, podemos escrever a energia total

U_{tot}=NU_{i}=N\left(z\lambda e^{-R/\rho }-\alpha {\frac {q^{2}}{R}}\right),

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde consideramos um cristal com N moléculas (2N íons), sendo z o número de primeiros vizinhos e onde intriduzimos

\alpha \equiv \sum _{j\neq i}{\frac {(\pm )}{p_{ij}}},

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

a constante de Madelung. Como dissemos anteriormente, o sinal negativo é para íons de cargas opostas, enquanto que o sinal positivo é para íons de cargas de mesmo sinal.

Como exemplo, consideremos uma cadeia unidimensional infinita de NaCl.

A distância entre vizinhos é a, e então podemos escrever a constante de Madelung para um íon como

{\frac {\alpha }{a}}=2\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{2a}}+{\frac {1}{3a}}-{\frac {1}{4a}}+{\frac {1}{5a}}-...\right],

ou seja,

\alpha =2\left[1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-...\right]=2ln(2).

Neste caso, a constante de Madelung tem valor analítico pois reconhecemos os termos da série acima como a série de Taylor para ln(1 + x). A multiplicação por 2 é devida ao fato de a cadeia ser simétrica em relação a qualquer um dos íons.

Existem diversas maneiras práticas de se calcular a constante de Madelung, usando somas diretas, como fizemos (método de Evjen), ou via transformadas integrais, como no método de Ewald (Ewald method). Na tabela 1, mostramos alguns valores da constante de Madelung para alguns cristais. Aqui,

w={V}^{\frac {1}{3}},

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde V é o volume da célula unitária.

**Tabela 1: Exemplos de constantes de Madelung**
Íon no composto cristalino	$\alpha$ (base em $R$ )	${\overline {\alpha }}$ (base em $w$ )
Cl^- e Na⁺ no NaCl	±1.748	±3.495
S^2- e Zn²⁺ no ZnS	±1.638	±3.783
S^- no FeS₂	…	1.957
Fe²⁺ no FeS₂	…	-7.458

A equação de Born-Landé fornece o valor da energia reticular de um composto iônico. Em 1918^[1] Max Born e Alfred Landé propuseram que a energia da rede cristalina poderia ser derivada a partir do potencial eletrostático da rede iônica e do termo de energia potencial repulsiva.^[2]

E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \epsilon _{o}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)

(Joules/mol)

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

onde

\,N_{A}

= número de Avogadro

\,M

= constante de Madelung, relacionada com a geometria do cristal.

\,z^{+}

= carga do cátions em unidade eletrostática

\,z^{-}

= carga do ânion em unidade eletrostática

\,e

= carga elementar, 1,6022×10⁻¹⁹ C

\,\epsilon _{o}

= permissividade do espaço livre,

\,4\pi \epsilon _{o}

= 1,112×10⁻¹⁰ C²/(J m)

\,r_{0}

= distância do íon mais próximo em metros

\,{n}

= expoente de Born, um número entre 5 e 12, determinado experimentalmente pela medida de compressibilidade do sólido ou derivado teoricamente.^[3]

A constante de Avogadro foi assim nomeada no início do século XIX, pelo cientista italiano Amedeo Avogadro, que em 1811 havia proposto pela primeira vez que o volume de gás (a uma dada pressão e temperatura) é proporcional ao número de átomos ou moléculas, independentemente da natureza desse gás.^[5] O físico francês Jean Perrin, em 1909, propôs nomear a constante em honra a Avogadro.^[6] Perrin ganhou o Prêmio Nobel de Física, devido, em grande parte, a seu trabalho na determinação da constante de Avogadro por meio de vários métodos diferentes.^[7]

O valor da constante de Avogadro foi indicado, primeiramente, por Johann Josef Loschmidt que, em 1865, estimou que o diâmetro médio das moléculas de ar é equivalente a calcular o número de partículas de um determinado volume de gás.^[8] Esse último valor, o número

n_{0}

da densidade das partículas em um gás ideal, é chamado de constante de Loschmidt (em sua homenagem), e está relacionada com a constante de Avogadro, N_A, por:

n_{0}={\frac {p_{0}N_{\rm {A}}}{RT_{0}}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde p₀ é a pressão, R é o gás constante e T₀ é a temperatura absoluta. A ligação com Loschmidt é dada pela raiz do símbolo L, muitas das vezes utilizado para a constante de Avogadro, e que, na literatura alemã, pode se referir, pelo mesmo nome, a ambas constantes, distinguindo-se apenas pelas unidades de medida.^[9]

Determinações precisas do número de Avogadro requererem a medição de uma única quantidade em ambas as escalas, atômicas e macroscópicas, usando a mesma unidade de medição. Isso se tornou possível quando, em 1910, o físico americano Robert Millikan mediu a carga de um elétron. A carga elétrica por mol de elétrons é uma constante chamada de constante de Faraday, e é conhecida desde 1834, quando Michael Faraday publicou seus trabalhos sobre eletrólise. Ao dividir a carga de um mol de elétrons pela carga de um único elétron, o valor obtido é o número de Avogadro.^[10] Desde 1910, novos cálculos têm determinado com mais precisão os valores para a constante de Faraday e para a carga elementar.

Perrin, originalmente, propôs o nome, número de Avogadro (N), para se referir à quantidade de moléculas contidas em um mol de oxigênio (exatamente 32 g de oxigênio, de acordo com as definições do período), e este termo ainda é amplamente utilizado, especialmente em trabalhos preliminares.^[11] A alteração do nome para constante de Avogadro (N_A) veio com a introdução do mol como uma unidade básica no Sistema Internacional de Unidades (SI) em 1971, que reconheceu a quantidade de substância como uma análise dimensional independente. Com esse reconhecimento, a constante de Avogadro era não mais um número puro, mas uma unidade de medida, o mol recíproco (mol⁻¹).^[12]

Embora seja raro usar outras unidades de quantidade de substância que não sejam o mol, a constante de Avogadro também pode ser expressa em outras unidades, como a libra mol (lb-mol) e a lince mol (oz-mol).

N_A = 2.73159757 × 10²⁶ (lb-mol)⁻¹ = 1.707248479 x 10²⁵ (oz-mol)⁻¹

sábado, 10 de agosto de 2019